Véase también: Propiedades de los polígonosEl área
es una medida de cuánto espacio hay dentro de una forma. Calcular el área de una forma o superficie puede ser útil en la vida cotidiana, por ejemplo, puede ser necesario saber cuánta pintura comprar para cubrir una pared o cuántas semillas de hierba se necesitan para sembrar un césped.
Esta página cubre lo esencial que necesitas saber para entender y calcular las áreas de las formas comunes, incluyendo cuadrados y rectángulos, triángulos y círculos.
Cálculo del área usando el método de la cuadrícula
Cuando se dibuja una forma en una cuadrícula a escala, se puede encontrar el área contando el número de cuadrados de la cuadrícula dentro de la forma.
En este ejemplo hay 10 cuadrículas dentro del rectángulo.
Para encontrar un valor de área usando el método de la cuadrícula, necesitamos saber el tamaño que representa un cuadrado de la cuadrícula.
Este ejemplo utiliza centímetros, pero el mismo método se aplica para cualquier unidad de longitud o distancia. Podrías, por ejemplo, usar pulgadas, metros, millas, pies, etc.
En este ejemplo, cada cuadrado de la cuadrícula tiene un ancho de 1cm y una altura de 1cm. En otras palabras, cada cuadrícula es de un centímetro cuadrado.
Cuenta los cuadrados de la cuadrícula dentro del gran cuadrado para encontrar su área…
Hay 16 cuadrados pequeños, así que el área del cuadrado grande es de 16 centímetros cuadrados.
En matemáticas abreviamos «centímetros cuadrados» a cm2. El 2 significa «al cuadrado».
Cada cuadrado de la cuadrícula es de 1cm2.
El área del gran cuadrado es de 16 cm2.
Contar cuadrados en una cuadrícula para encontrar el área funciona para todas las formas, siempre y cuando se conozcan los tamaños de la cuadrícula. Sin embargo, este método se vuelve más difícil cuando las formas no encajan exactamente en la cuadrícula o cuando necesitas contar fracciones de cuadrados de la cuadrícula.
En este ejemplo el cuadrado no encaja exactamente en la cuadrícula.
Todavía podemos calcular el área contando los cuadrados de la cuadrícula.
- Hay 25 cuadrículas completas (sombreadas en azul).
- 10 medios cuadrados (sombreados en amarillo) – 10 medios cuadrados es lo mismo que 5 cuadrados completos.
- También hay un cuarto de cuadrado (sombreado en verde) – (¼ o 0,25 de un cuadrado entero).
- Suma los cuadrados enteros y las fracciones: 25 + 5 + 0.25 = 30.25.
Por lo tanto, el área de este cuadrado es de 30,25 cm2 .
También puedes escribir esto como 30¼cm2.
Aunque utilizar una cuadrícula y contar los cuadrados dentro de una forma es una forma muy sencilla de aprender los conceptos de área, es menos útil para encontrar áreas exactas con formas más complejas, cuando puede haber muchas fracciones de cuadrados de la cuadrícula para sumar.
El área puede ser calculada usando fórmulas simples, dependiendo del tipo de forma con la que se esté trabajando.
El resto de esta página explica y da ejemplos de cómo calcular el área de una forma sin usar el sistema de cuadrículas.
Áreas de cuadriláteros simples: cuadrados, rectángulos y paralelogramos
Los cálculos de área más simples (y más utilizados) son para los cuadrados y rectángulos.
Para encontrar el área de un rectángulo, multiplica su altura por su anchura.
Para un cuadrado sólo necesitas encontrar la longitud de uno de los lados (ya que cada lado tiene la misma longitud) y luego multiplicarlo por sí mismo para encontrar el área. Esto es lo mismo que decir longitud2 o longitud al cuadrado.
Es una buena práctica comprobar que una forma es realmente un cuadrado midiendo dos lados. Por ejemplo, la pared de una habitación puede parecer un cuadrado, pero cuando la mides encuentras que en realidad es un rectángulo.
A menudo, en la vida real, las formas pueden ser más complejas. Por ejemplo, imagina que quieres encontrar el área de un piso, para poder ordenar la cantidad correcta de alfombra.
Un plano típico de una habitación puede no consistir en un simple rectángulo o cuadrado:
En este ejemplo, y en otros similares, el truco es dividir la forma en varios rectángulos (o cuadrados). No importa cómo se divida la forma, cualquiera de las tres soluciones dará como resultado la misma respuesta.
Las soluciones 1 y 2 requieren que hagas dos formas y sumes sus áreas para encontrar el área total.
Para la solución 3 haces una forma más grande (A) y le sustraes la forma más pequeña (B) para encontrar el área.
Otro problema común es encontrar el área de un borde, una forma dentro de otra forma.
Este ejemplo muestra un camino alrededor de un campo – el camino tiene 2m de ancho.
Una vez más, hay varias maneras de calcular el área del camino en este ejemplo.
Podrías ver el camino como cuatro rectángulos separados, calcular sus dimensiones y luego su área y finalmente sumar las áreas para dar un total.
Una forma más rápida sería calcular el área de la forma completa y el área del rectángulo interno. Restar el área del rectángulo interno del conjunto dejando el área del camino.
- El área de la forma completa es de 16m × 10m = 160m2.
- Podemos calcular las dimensiones de la sección media porque sabemos que el camino alrededor del borde es de 2m de ancho.
- El ancho de toda la forma es de 16m y el ancho del camino a través de toda la forma es de 4m (2m a la izquierda de la forma y 2m a la derecha). 16m – 4m = 12m
- Podemos hacer lo mismo para la altura: 10m – 2m – 2m = 6m
- Así que hemos calculado que el rectángulo central es de 12m × 6m.
- El área del rectángulo central es por lo tanto: 12m × 6m = 72m2.
- Finalmente, tomamos el área del rectángulo del medio, lejos del área de la forma completa. 160 – 72 = 88m2.
El área del camino es de 88m2.
Un paralelogramo es una forma de cuatro lados con dos pares de lados de igual longitud – por definición un rectángulo es un tipo de paralelogramo. Sin embargo, la mayoría de la gente tiende a pensar en los paralelogramos como formas de cuatro lados con líneas angulares, como se ilustra aquí.
El área de un paralelogramo se calcula de la misma manera que para un rectángulo (altura × anchura) pero es importante entender que la altura no significa la longitud de los lados verticales (o fuera de la vertical) sino la distancia entre los lados.
En el diagrama se puede ver que la altura es la distancia entre la parte superior e inferior de la forma – no la longitud del lado.
Piensa en una línea imaginaria, en ángulos rectos, entre los lados superior e inferior. Esta es la altura.
Las áreas de los triángulos
Puede ser útil pensar en un triángulo como la mitad de un cuadrado o paralelogramo.
Asumiendo que conoces (o puedes medir) las dimensiones de un triángulo, entonces puedes calcular rápidamente su área.
El área de un triángulo es (altura × anchura) ÷ 2.
En otras palabras, puedes calcular el área de un triángulo de la misma manera que el área de un cuadrado o paralelogramo, y luego simplemente divide tu respuesta entre 2.
La altura de un triángulo se mide como una línea en ángulo recto desde la línea inferior (base) hasta el ‘ápice’ (punto superior) del triángulo.
Aquí hay algunos ejemplos:
El área de los tres triángulos del diagrama anterior es la misma.
Cada triángulo tiene un ancho y una altura de 3 cm.
El área está calculada:
(altura × anchura) ÷ 2
3 × 3 = 9
9 ÷ 2 = 4.5
El área de cada triángulo es de 4,5 cm2.
En situaciones de la vida real puede que te enfrentes a un problema que requiere que encuentres el área de un triángulo, como:
Quieres pintar el frontón de un granero. Sólo quieres visitar la tienda de decoración una vez para conseguir la cantidad adecuada de pintura. Sabes que un litro de pintura cubrirá 10m2 de pared. ¿Cuánta pintura necesitas para cubrir el frontón?
Necesitas tres medidas:
A – La altura total hasta el ápice del techo.
B – La altura de las paredes verticales.
C – El ancho del edificio.
En este ejemplo las medidas son:
A – 12,4m
B – 6.6m
C – 11.6m
La siguiente etapa requiere algunos cálculos adicionales. Piensa en el edificio como dos formas, un rectángulo y un triángulo. A partir de las medidas que tiene, puede calcular la medida adicional necesaria para calcular el área del frontón.
Medida D = 12,4 – 6,6
D = 5.8m
Ahora puedes calcular el área de las dos partes de la pared:
Área de la parte rectangular de la pared: 6.6 × 11.6 = 76.56m2
Área de la parte triangular de la pared: (5.8 × 11.6) ÷ 2 = 33.64m2
Sume estas dos áreas para encontrar el área total:
76.56 + 33.64 = 110.2m2
Como sabéis, un litro de pintura cubre 10m2 de pared, así que podemos calcular cuántos litros necesitamos comprar:
110,2 ÷ 10 = 11,02 litros.
En realidad puedes encontrar que la pintura sólo se vende en latas de 5 o 1 litro, el resultado es poco más de 11 litros. Puedes estar tentado de redondear a 11 litros pero, asumiendo que no aguamos la pintura, no será suficiente. Así que probablemente redondearás al siguiente litro completo y comprarás dos latas de 5 litros y dos de 1 litro haciendo un total de 12 litros de pintura. Esto permitirá cualquier desperdicio y dejará la mayor parte de un litro sobrante para retocarlo en una fecha posterior. Y no olvides que si necesitas aplicar más de una capa de pintura, ¡debes multiplicar la cantidad de pintura para una capa por el número de capas requeridas!
Áreas de círculos
Para calcular el área de un círculo necesitas saber su diámetro o radio.
El diámetro de un círculo es la longitud de una línea recta de un lado del círculo al otro que pasa por el punto central del círculo. El diámetro es el doble de la longitud del radio (diámetro = radio × 2)
El radio de un círculo es la longitud de una línea recta desde el punto central del círculo hasta su borde. El radio es la mitad del diámetro. (radio = diámetro ÷ 2)
Puedes medir el diámetro o el radio en cualquier punto alrededor del círculo – lo importante es medir usando una línea recta que pase por (diámetro) o que termine en (radio) el centro del círculo.
En la práctica, cuando se miden los círculos suele ser más fácil medir el diámetro, y luego dividirlo por 2 para encontrar el radio.
Necesitas el radio para calcular el área de un círculo, la fórmula es:
área del círculo = πR2.
Esto significa que:
π = Pi es una constante que equivale a 3.142.
R = es el radio del círculo.
R2 (radio al cuadrado) significa radio × radio.
Por lo tanto, un círculo con un radio de 5 cm tiene un área de:
3.142 × 5 × 5 = 78.55cm2.
Un círculo con un diámetro de 3m tiene un área:
Primero, calculamos el radio (3m ÷ 2 = 1.5m)
Luego aplica la fórmula:
πR2
3.142 × 1.5 × 1.5 = 7.0695.
El área de un círculo de 3 m de diámetro es de 7,0695 m2.
Ejemplo final
Este ejemplo utiliza gran parte del contenido de esta página para resolver problemas simples de área.
Esta es la Casa Ruben M. Benjamin en Bloomington Illinois, listada en el Registro Nacional de Lugares Históricos de los Estados Unidos (Número de registro: 376599).
Este ejemplo implica encontrar el área del frente de la casa, la parte de listones de madera – excluyendo la puerta y las ventanas. Las medidas que necesita son:
A – 9.7mB – 7.6mC – 8.8mD – 4.5mE – 2.3mF – 2.7mG – 1.2mH – 1.0mNotas
:
- Todas las medidas son aproximadas.
- No hay necesidad de preocuparse por el borde alrededor de la casa – esto no ha sido incluido en las mediciones.
- Asumimos que todas las ventanas rectangulares son del mismo tamaño.
- La medida de la ventana redonda es el diámetro de la ventana.
- La medida de la puerta incluye los escalones.
¿Cuál es el área de la parte de la casa con listones de madera?
Trabajos y respuestas abajo:
Respuestas al ejemplo anterior
Primero, trabajen en el área de la forma principal de la casa, es decir, el rectángulo y el triángulo que forman la forma.
El rectángulo principal (B × C) 7,6 × 8,8 = 66,88m2.
La altura del triángulo es (A – B) 9,7 – 7,6 = 2,1.
El área del triángulo es por lo tanto (2.1 × C) ÷ 2.
2.1 × 8.8 = 18.48. 18.48 ÷ 2 = 9.24m2.
El área completa combinada del frente de la casa es la suma de las áreas del rectángulo y el triángulo:
66.88 + 9.24 = 76.12m2.
A continuación, trabaje en las áreas de las ventanas y puertas, para que puedan ser sustraídas del área total.
El área de la puerta y los escalones es (D × E) 4,5 × 2,3 = 10,35m2.
El área de una ventana rectangular es (G × F) 1.2 × 2.7 = 3.24m2.
Hay cinco ventanas rectangulares. Multiplica el área de una ventana por 5.
3.24 × 5 = 16.2m2. (el área total de las ventanas rectangulares).
La ventana redonda tiene un diámetro de 1m y su radio es por lo tanto de 0,5m.
Usando πR2, calcula el área de la ventana redonda: 3.142 × 0.5 × 0.5 =. 0.7855m2.
A continuación, sume las áreas de la puerta y las ventanas.
(área de la puerta) 10.35 + (área de las ventanas rectangulares) 16.2 + (área de las ventanas redondas) 0.7855 = 27.3355
Finalmente, reste el área total de las ventanas y puertas del área total.
76.12 – 27.3355 = 48.7845
El área de la fachada de madera de la casa, y la respuesta al problema es: 48.7845m2.
Puede que quieras redondear la respuesta hasta 48,8m2 o 49m2.
Continúa:
Hoja de referencia de área, superficie y volumen
Calculando el volumen
Vea también:
Propiedades de los polígonos | Formas tridimensionales
Ángulos | Introducción a la geometría