Ver también: Propiedades de los polígonos Esta
página examina las propiedades de las formas tridimensionales o «sólidas»
.
Una forma bidimensional tiene longitud y anchura. Una forma sólida tridimensional también tiene profundidad. Las formas tridimensionales, por su naturaleza, tienen un interior y un exterior, separados por una superficie. Todos los objetos físicos, las cosas que puedes tocar, son tridimensionales.
Esta página cubre tanto los sólidos de lados rectos llamados poliedros, que se basan en polígonos, como los sólidos con curvas, como los globos, cilindros y conos.
Poliedros
Los poliedros (o poliedros) son formas sólidas de lados rectos. Los poliedros se basan en polígonos, formas bidimensionales planas con líneas rectas.
Los poliedros se definen como teniendo:
- Bordes rectos.
- Lados planos llamados caras.
- Esquinas, llamadas vértices.
Los poliedros también suelen definirse por el número de aristas, caras y vértices que tienen, así como por el hecho de que sus caras tengan todas la misma forma y tamaño. Al igual que los polígonos, los poliedros pueden ser regulares (basados en polígonos regulares) o irregulares (basados en polígonos irregulares). Los poliedros también pueden ser cóncavos o convexos.
Uno de los poliedros más básicos y familiares es el cubo. Un cubo es un poliedro regular, que tiene seis caras cuadradas, 12 aristas y ocho vértices.
Poliedros regulares (Sólidos platónicos)
Los cinco sólidos regulares son una clase especial de poliedros, cuyas caras son idénticas y cada cara es un polígono regular. Los sólidos platónicos son:
- Tetraedro con cuatro caras de triángulos equiláteros.
- Cubo con seis caras cuadradas.
- Un octaedro con ocho caras de triángulos equiláteros.
- El dodecaedro con doce caras de pentágono.
- Icosaedro con veinte caras de triángulos equiláteros.
¿Qué es un Prisma?
Un prisma es cualquier poliedro que tenga dos extremos iguales y caras planas. Si se corta un prisma en cualquier lugar de su longitud, paralelo a un extremo, su sección transversal es la misma – se acabaría con dos prismas. Los lados de un prisma son paralelogramos – formas de cuatro lados con dos pares de lados de igual longitud.
Los antiprismas son similares a los prismas regulares, sus extremos coinciden. Sin embargo, los lados de los antiprismas están hechos de triángulos y no de paralelogramos. Los antiprismas pueden llegar a ser muy complejos.
¿Qué es una pirámide?
Una pirámide es un poliedro con una base poligonal que se conecta a un ápice (punto superior) con lados rectos.
Aunque tendemos a pensar en pirámides de base cuadrada, como las que construyeron los antiguos egipcios, en realidad pueden tener cualquier base poligonal, regular o irregular. Además, una pirámide puede tener un vértice en el centro directo de su base, una Pirámide Derecha, o puede tener el vértice fuera del centro cuando es una Pirámide Oblicua.
Poliedros más complejos
Hay muchos más tipos de poliedros: simétricos y asimétricos, cóncavos y convexos.
Los sólidos de Arquímedes, por ejemplo, están formados por al menos dos polígonos regulares diferentes.
El cubo truncado (como se ilustra) es un sólido de Arquímedes con 14 caras. 6 de las caras son octógonos regulares y las otras 8 son triángulos regulares (equiláteros). La forma tiene 36 aristas y 24 vértices (esquinas).
Formas tridimensionales con curvas
Las formas sólidas que incluyen un borde curvo o redondo no son poliedros. Los poliedros sólo pueden tener lados rectos.
Muchos de los objetos a su alrededor incluirán al menos algunas curvas. En geometría, los sólidos curvos más comunes son los cilindros, conos, esferas y toros (el plural de torus).
Superficie
Nuestra página sobre el cálculo del área explica cómo calcular el área de las formas bidimensionales y necesitas entender estos fundamentos para calcular el área de la superficie de las formas tridimensionales.
Para las formas tridimensionales, hablamos de área de superficie, para evitar confusiones.
Puedes usar tus conocimientos sobre el área de las formas bidimensionales para calcular el área de la superficie de una forma tridimensional, ya que cada cara o lado es efectivamente una forma bidimensional.
Por lo tanto, se trabaja el área de cada cara, y luego se suman.
Al igual que en las formas planas, el área de la superficie de un sólido se expresa en unidades cuadradas: cm2, pulgadas2, m2 y así sucesivamente. Puedes encontrar más detalles sobre las unidades de medida en nuestra página Sistemas de Medida.
Ejemplos de cálculos de área de superficie
Cubo
El área de la superficie de un cubo es el área de una cara (largo x ancho) multiplicada por 6, porque las seis caras son iguales.
Como la cara de un cubo es un cuadrado, sólo necesitas tomar una medida: la longitud y la anchura de un cuadrado son, por definición, las mismas.
Una cara de este cubo es por lo tanto 10 × 10 cm = 100cm2. Multiplica por 6, el número de caras de un cubo, y encontramos que el área de la superficie de este cubo es de 600cm2.
Otros poliedros regulares
De manera similar, el área de la superficie de los otros poliedros regulares (sólidos platónicos) puede calcularse encontrando el área de un lado y luego multiplicando la respuesta por el número total de lados – ver el diagrama de Poliedros Básicos arriba.
Si el área de un pentágono que compone un dodecaedro es de 22cm2, entonces multiplica esto por el número total de lados (12) para dar la respuesta 264cm2.
Pirámide
Para calcular el área de la superficie de una pirámide estándar con cuatro lados triangulares iguales y una base cuadrada:
Primero calcula el área de la base (cuadrado) longitud × anchura.
A continuación, calcula el área de una cara (triángulo). Mide el ancho a lo largo de la base y luego la altura del triángulo (también conocido como longitud oblicua) desde el punto central de la base hasta el vértice.
Luego puedes dividir tu respuesta por 2 para obtener el área de la superficie de un triángulo y luego multiplicarla por 4 para obtener el área de la superficie de los cuatro lados, o simplemente multiplicar el área de la superficie de un triángulo por 2.
Finalmente sumar el área de la base y los lados para encontrar la superficie total de la pirámide.
Para calcular el área de superficie de otros tipos de pirámide, sume el área de la base (conocida como área de la base) y el área de los lados (área lateral), puede que necesite medir los lados individualmente.
Diagramas de la red
Una red geométrica es un «patrón» bidimensional para un objeto tridimensional. Las redes pueden ser útiles para calcular el área de la superficie de un objeto tridimensional. En el siguiente diagrama se puede ver cómo se construyen las pirámides básicas, si la pirámide está ‘desplegada’ te quedas con la red.
Prisma
Para calcular el área de la superficie de un prisma:
Los prismas tienen dos extremos iguales y lados planos de paralelogramo.
Calcula el área de un extremo y multiplícalo por 2.
Para un prisma regular (donde todos los lados son iguales) calcula el área de uno de los lados y multiplica por el número total de lados.
Para los prismas irregulares (con diferentes lados) calcula el área de cada lado.
Sume sus dos respuestas (extremos × lados) para encontrar la superficie total del prisma.
Cilindro
Ejemplo:
Radio = 5cm
Altura = 10cm
Para calcular el área de la superficie de un cilindro es útil pensar en los componentes de la forma. Imaginen una lata de maíz dulce, que tiene una parte superior y una inferior, ambas en forma de círculos. Si cortas el lado a lo largo de su longitud y lo aplanas, tendrías un rectángulo. Por lo tanto, necesitas encontrar el área de dos círculos y un rectángulo.
Primero calcula el área de uno de los círculos.
El área de un círculo es π(pi) × radio2.
Asumiendo un radio de 5 cm, el área de uno de los círculos es 3.14 × 52 = 78,5 cm2.
Multiplicar la respuesta por 2, ya que hay dos círculos de 157cm2
El área del lado del cilindro es el perímetro del círculo × la altura del cilindro.
El perímetro es igual a π x 2 × radio. En nuestro ejemplo, 3,14 × 2 × 5 = 31,4
Mide la altura del cilindro, para este ejemplo la altura es de 10 cm. El área de la superficie del lado es 31.4 × 10 = 314cm2.
El área total de la superficie puede ser encontrada sumando el área de los círculos y el lado juntos:
157 + 314 = 471cm2
Ejemplo:
Radio = 5cm
Longitud de la inclinación = 10cm
Cono
Cuando se calcula la superficie de un cono es necesario utilizar la longitud de la «inclinación» así como el radio de la base.
Sin embargo, es relativamente sencillo de calcular:
El área del círculo en la base del cono es, π(pi) × radio2.
En este ejemplo la suma es 3,14 × 52 = 3,14 × 25 = 78,5cm2
El área del lado, la sección inclinada, puede ser encontrada usando esta fórmula:
π(pi) × radio × longitud de la inclinación.
En nuestro ejemplo la suma es 3,14 × 5 × 10 = 157cm2.
Finalmente sumar el área base al área lateral para obtener el área total de la superficie del cono.
78.5 + 157 = 235.5cm2
Pelota de tenis:
Diámetro = 2.6 pulgadas
Esfera
El área de la superficie de una esfera es una expansión relativamente simple de la fórmula del área de un círculo.
4 × π × radio2.
Para una esfera es a menudo más fácil medir el diámetro – la distancia a través de la esfera. Entonces puedes encontrar el radio que es la mitad del diámetro.
El diámetro de una pelota de tenis estándar es de 2,6 pulgadas. Por lo tanto, el radio es de 1,3 pulgadas. Para la fórmula necesitamos el radio al cuadrado. 1.3 × 1.3 = 1.69.
El área de la superficie de una pelota de tenis es, por lo tanto:
4 × 3,14 × 1,69 = 21,2264 pulgadas2.
Ejemplo:
R (Radio Grande) = 20 cm
r (Radio pequeño) = 4 cm
Toro
Para calcular el área de la superficie de un toro es necesario encontrar dos valores de radio.
El radio grande o mayor (R) se mide desde el centro del agujero hasta el centro del anillo.
El radio pequeño o menor (r) se mide desde la mitad del anillo hasta el borde exterior.
El diagrama muestra dos vistas de un toro de ejemplo y cómo medir sus radios (o radios).
El cálculo para hallar el área de la superficie se hace en dos partes (una para cada radio). El cálculo es el mismo para cada parte.
La fórmula es: área de superficie = (2πR)(2πr)
Para calcular el área de la superficie del ejemplo del toro.
(2 × π × R) = (2 × 3.14 × 20) = 125.6
(2 × π × r) = (2 × 3.14 × 4) = 25.12
Multiplica las dos respuestas juntas para encontrar la superficie total del toro de ejemplo.
125,6 × 25,12 = 3155.072cm2.
Llenando un sólido: Volumen
Con las formas tridimensionales, puede que también necesites saber cuánto volumen lo han hecho.
En otras palabras, si las llenaras con agua o aire, ¿cuánto relleno necesitarías?
Esto está cubierto en nuestra página Calculando el Volumen.
Continúa:
Calculando el área
Ángulos
Ver también:
Cálculo del volumen | Polígonos (formas planas)
Hoja de referencia de área, superficie y volumen
Estimación y aproximación