Introducción al álgebra |

Ver también: Teoría de conjuntosMuchas

personas piensan que las ecuaciones y el álgebra están más allá de ellos – la idea de tener que trabajar con ecuaciones los llena de miedo. Sin embargo, no hay necesidad de tener miedo a las ecuaciones.

La buena noticia es que las ecuaciones son en realidad conceptos relativamente simples, y con un poco de práctica y la aplicación de algunas reglas sencillas, se puede aprender a manipularlas y resolverlas.

Esta página está diseñada para introducirte a los fundamentos del álgebra, con la esperanza de que te sientas más cómodo resolviendo ecuaciones simples.

¿Qué es una ecuación?

Una ecuación son dos expresiones a cada lado de un símbolo que indica su relación.

Esa relación puede ser igual (=), menor que (),<) or greater than (> o alguna combinación. Por ejemplo, menos o igual a (≤) o incluso no igual a (≠) o aproximadamente igual a (≈) Estos se conocen como símbolos de igualdad.

Por lo tanto, las ecuaciones simples incluyen 2 + 2 = 4 y 5 + 3 > 3 + 4.

Sin embargo, cuando la mayoría de la gente habla de ecuaciones, se refieren a ecuaciones algebraicas.

Estas son ecuaciones que involucran tanto letras como números. Las letras se usan para reemplazar algunos de los números en los que una expresión numérica sería demasiado complicada, o en los que se quiere generalizar en lugar de usar números específicos. También pueden utilizarse cuando se conocen los valores de una parte de la ecuación, pero otros son desconocidos y es necesario resolverlos.

Las ecuaciones algebraicas se resuelven resolviendo qué números representan las letras.

Podemos convertir las dos ecuaciones simples de arriba en ecuaciones algebraicas sustituyendo N N – xN por uno de los números:

Sabemos que 2 + 2 = 4, lo que significa que (x) debe ser igual a 4. Por lo tanto, la solución de la ecuación es que el símbolo en negrita = 4.

Sabemos que 5 + 3 = 8. La ecuación nos dice que 8 es mayor que (>) 3 + (x).

Tenemos que reorganizar la ecuación para que ~ (x) está en un lado y todos los números están en el otro, de lo contrario no podemos encontrar el valor de ~ – (x). La regla de reordenar las ecuaciones es que lo que haces a un lado, también debes hacerlo al otro. Hay más sobre esto a continuación.

Si quitas 3 de ambos lados (8 – 3 = 5), la ecuación se convierte en

Podemos ver que ~ debe ser menos de 5 ( ~ – x) ).

No podemos decir con más precisión qué es con la información que nos dan. Sin embargo, en la ecuación inicial que usamos como ejemplo, sustituimos 4 por (x), que es en realidad menos de 5.

No hay magia en usar una «x» rizada ( (x)). Puedes usar cualquier letra que quieras, aunque ~ (x) y (y) se utilizan comúnmente para representar los elementos desconocidos de las ecuaciones.

Variables y constantes

Una letra utilizada para sustituir un número en álgebra se llama variable, porque representa números diferentes cada vez que se utiliza.

Esto es diferente de una letra en particular que siempre se utiliza para sustituir el mismo número, como ( ~ -pi) (pi) que siempre es 3.142. Tal letra se llama una constante.

En una ecuación algebraica, cualquier número dado también es constante, porque siempre permanece igual.

Si se requiere resolver una ecuación que involucra una constante, siempre se te dirá su valor.

Términos de una ecuación

Un término es una parte de la ecuación que se separa de las demás partes, generalmente mediante un símbolo de suma (+) o resta (-).

Un grupo de términos se denomina una expresión, más bien como una frase o descripción matemática. Algunas expresiones matemáticas pueden parecer bastante aterradoras, llenas de números y letras, algunas de las cuales podrían incluso ser griegas. Sin embargo, la clave es mirar cada término por separado, y descomponerlo en cosas que conozcas o que puedas resolver. Si haces esto, comenzarás a entender que no siempre es tan difícil como pensaste en un principio.

Los términos pueden ser sólo números, o pueden ser sólo letras, o pueden ser una combinación de letras y números, como 2 (símbolo de negrita), 3 (símbolo de negrita) o 4 (símbolo de negrita).

En un término que involucra letras y números, el número se conoce como el coeficiente, y la letra es la variable. El coeficiente es simplemente un «multiplicador» – te dice cuántos de algo (la variable) tienes en ese término.

Se dice que los términos que tienen exactamente la misma variable son como términos, y puedes sumarlos, restarlos, multiplicarlos o dividirlos como si fueran simples números. Por ejemplo:

La ecuación 2(x) + 3N(xN) es igual a 5N(x), simplemente 2 lotes de N(x) más 3 lotes de N(x) para hacer 5 lotes de N(x) (5N(x)).

$$5xy – xy = 4xy$$ $$5y × 3y = 15y^2$$

No

se puede sumar

o restar «a diferencia de los términos». Sin embargo, puedes multiplicarlos combinando variables y multiplicando los coeficientes juntos.

Así, por ejemplo, 3(yN) × 2N(x) = 6N(xyN) (porque 6N(xy) simplemente significa 6 veces N(xy) veces N).

Puedes dividir términos diferentes convirtiéndolos en fracciones y anulándolos. Empieza con los números, luego las letras.

Así, por ejemplo:

…grande…

$$frac{6xy}{3x}$$ = $$frac{2xy}{x}$$$ = $$frac{2y}{1}$$$ = $$2y$$Divide top
y el fondo
por 3Divide top
y el fondo
por xEl 1 puede ser
ignorado porque
cualquier cosa dividida
por 1 es en sí mismoReordenamiento

y resolución

de ecuaciones

En muchos casos, para resolver una ecuación, probablemente tendrás que reorganizarla. Esto significa que tienes que mover los términos de manera que termines con sólo los términos que implican ~ (x) en un lado del símbolo de igualdad (como =, >, o <) and all the numbers on the other.

Este proceso a veces se llama aislamiento.

Puedes reordenar las ecuaciones a través de un conjunto de reglas simples:

1. Lo que sea que hagas a un lado de la ecuación, debes hacer lo mismo al otro. De esa manera se preserva la relación entre ellos. No importa lo que hagas, ya sea quitar 2, sumar 57, multiplicar por 150, o dividir por ~ (x). Mientras lo hagas a ambos lados, la ecuación sigue siendo correcta. Puede ayudar pensar en tu ecuación como un conjunto de escalas o un balancín, que siempre debe equilibrar.
2. Nuestra página sobre la suma explica que no importa el orden en que se añada, la respuesta sigue siendo la misma. Esto significa que puedes reorganizar la expresión para unir los términos similares y hacer más fácil la suma. Esto también se aplica a la resta, siempre y cuando recuerdes, en nuestra página sobre Números positivos y negativos, que restar es lo mismo que sumar un número negativo. Así, por ejemplo, 10 – 3 = 10 + (-3).
3. Las ecuaciones también funcionan de acuerdo a BODMAS, así que recuerda hacer el cálculo en el orden correcto.
4. Siempre pon tu ecuación en la forma más simple posible: multiplica los paréntesis, divide, cancela las fracciones y suma/resta todos los términos similares.

Ejemplos trabajados:

Intenta resolver estas ecuaciones para ~ – x, haga clic en los cuadros para revelar el funcionamiento y las respuestas.

$$$$$$$x + 3 = 5 × 4 }$$$

• Como con cualquier cálculo, haz primero la multiplicación. 5 × 4 = 20
• Así que… + 3 = 20
• El siguiente paso es quitar tres de ambos lados
• (x) + 3 – 3 = 20 – 3
• 20 – 3 = 17.

Esto te deja con la respuesta: (x) = 17

$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$

• Haz primero el cálculo de la derecha, porque no tiene ninguna letra. No hay paréntesis, así que primero es la multiplicación y luego la suma.
• 6 × 5 = 30, y 30 + 3 = 33.
• El cálculo de la izquierda es una suma, así que puedes mover los términos hasta que tengas todos los números juntos:5 + (x) + 21 = (x) + 5 + 21y 5 + 21 = 26.
• Así que ahora tienes 26 + ~ x = 33
• Ahora puedes quitar 26 de ambos lados
• 26 + (x) – 26 = (x) = 33 – 26
• Y 33 – 26 = 7.

Por lo tanto ~ – (x) = 7

$$\N-grande{x^2 + 5 = 13 – 4}$$

• Reorganícense para tener todos los números en un lado, quitando cinco de cada lado.
• Ahora tienes 13, 4 y 5, así que…
• (x)2 = 4
• Ahora necesitas tomar la raíz cuadrada de ambos lados, porque quieres encontrar el valor de ~ – x y no ~ – x2.
• Sabes que 2 × 2 = 4, lo que significa que la raíz cuadrada de 4 = 2

(x) = 2

Ecuaciones y gráficos

Cualquier ecuación en la que hay una relación entre sólo dos variables, ~ x y y, se puede dibujar como un gráfico lineal donde ~ x va a lo largo del eje horizontal (a veces llamado el eje x) y ~ en el eje vertical, (a veces llamado el eje y).

Puedes calcular los puntos de tu gráfico resolviendo la ecuación para los valores particulares de x.

Ejemplos:

La

ventaja de dibujar una gráfica de una ecuación es que puedes usarla para calcular el valor de y para cualquier valor dado de x, o incluso x para cualquier valor dado de y, mirando la gráfica.

En este ejemplo, ¿cuál es el valor de x cuando = 10?

Muévete hacia arriba en el eje y hasta que llegues a 10, luego cruza horizontalmente hasta que llegues a la línea del gráfico. En ese punto, muévete hacia abajo hasta que alcances el eje x. Esto se muestra en las líneas rojas del gráfico y puedes ver que cuando (y) = 10, ~ – x = 3,5.

Cuando (x) = 0, ~ – y ~ = 0 + 0 + 4 = 4
cuando (x) = 1, ~ – y ~ = 1 + 1 + 4 = 6
cuando (x) = 2, ~ – y = 4 + 2 + 4 = 10
y así sucesivamente…

(x)012345678910(y)461016243446607694114
[#Z]

Extrapolar

Otra ventaja de trazar tu ecuación en un gráfico es que puedes extrapolar tus datos (información numérica) para obtener valores más grandes de N x o y. Extrapolar significa que se extiende el gráfico continuando la línea que se ha dibujado a partir de los datos, para estimar valores de N x y y más allá del rango de datos que ya se tienen.

En el primer ejemplo, la ecuación produce una línea recta, por lo que la extrapolación de este gráfico es sencilla. Sin embargo, hay que tener cuidado cuando se extrapola un gráfico que no es una línea recta, como en el segundo ejemplo.

En conclusión

Esta página ha explicado cómo resolver ecuaciones simples, y la relación entre ecuaciones y gráficos, dándote una forma alternativa de resolver ecuaciones.

Ahora estás listo para pasar a ecuaciones más complejas, incluyendo ecuaciones simultáneas y ecuaciones cuadráticas.

Continúa:
Ecuaciones simultáneas y cuadráticas
Probabilidad y presentación

Ver también:
Ordenación de operaciones matemáticas – BODMAS
Números y conceptos especiales | Calculando con el tiempo
Introducción a la trigonometría